Алгебраическое понятие
Многочлен, который не разлагается на нетривиальные множители. Если многочлен f(x) приводим, то существуют многочлены g(x) и h(x) такие, что f = gh, где степень g > 0 и степень h > 0 (степень меньше степени f). Неприводимость всегда относительна к выбранному числовому множеству (полю коэффициентов).
Близкие слова
- простой элемент кольца многочленовМатематически строгий термин, используемый в абстрактной алгебре; в школьном курсе чаще используется термин «неприводимый».
Многочлен x² + 1 является неприводимым над полем действительных чисел, так как у него нет действительных корней.
Над полем рациональных чисел многочлен x² - 2 неприводим, хотя над полем вещественных он распадается на (x - √2)(x + √2).
Зависимость от поля коэффициентов
Ключевой особенностью неприводимости является её контекстная природа. Один и тот же многочлен может быть неприводимым над одним полем и приводимым над другим, содержащим это поле. Например, линейные многочлены (степени 1) всегда неприводимы над любым полем. Квадратные и кубические многочлены неприводимы тогда и только тогда, когда у них нет корней в данном поле.
Для многочленов степени выше третьей отсутствие корней не гарантирует неприводимость. Многочлен может распадаться на произведение двух неприводимых множителей более высокой степени, не имея при этом линейных сомножителей (корней).
Аналогия с простыми числами
Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов ту же роль, что простые числа в кольце целых чисел. Согласно основной теореме арифметики для многочленов, любой ненулевой многочлен можно единственным образом (с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей) разложить на произведение неприводимых многочленов.
Это свойство позволяет использовать неприводимые многочлены как «строительные блоки» для построения алгебраических расширений полей. Если взять неприводимый многочлен p(x), то факторкольцо K[x]/(p(x)) является полем.
Отличие от смежных понятий
Не следует путать неприводимость с несократимостью алгебраической дроби. Дробь P/Q несократима, если числитель и знаменатель не имеют общих неприводимых множителей. Сам по себе многочлен может быть приводимым, но дробь с таким числителем всё равно будет несократимой, если знаменатель взаимно прост с числителем.
Термин «приведённый» (или нормированный) относится к старшему коэффициенту: многочлен назван приведённым, если его старший коэффициент равен 1. Приведённый многочлен может быть как приводимым (x² - 1), так и неприводимым (x² + 1).