Минимальная поверхность вращения
Гладкая поверхность в трёхмерном пространстве, полученная вращением цепной линии вокруг её директрисы (оси симметрии). Является единственным нетривиальным примером минимальной поверхности вращения (помимо плоскости).
Близкие слова
- минимальная поверхность вращения
Мыльная плёнка, застывшая между двумя проволочными кольцами, принимает форму катеноида.
В дифференциальной геометрии уравнение катеноида описывает поверхность с нулевой средней кривизной.
Геометрическая природа и свойства
Катеноид тесно связан с цепной линией — кривой, которую принимает гибкая однородная нить, подвешенная за два конца. Если взять график функции y = a·cosh(x/a) и вращать его вокруг оси Ox, получится катеноид. Параметр 'a' определяет радиус самой узкой части поверхности (горловины).
Главное математическое свойство катеноида — он является минимальной поверхностью. Это означает, что в каждой своей точке он имеет нулевую среднюю кривизну. Физически это проявляется в том, что мыльная плёнка, натянутая на две параллельные проволочные рамки одинакового диаметра, стремится занять форму с минимальной возможной площадью поверхности под действием поверхностного натяжения. Если расстояние между кольцами слишком велико по сравнению с их диаметром, катеноид становится неустойчивым и распадается на два отдельных диска.
Отличие от других поверхностей
Часто катеноид путают с гиперболой вращения или эллипсоидом. Однополостный гиперболоид также является линейчатой поверхностью, но он не является минимальной (его средняя кривизна не равна нулю). Катеноид же обладает уникальной формой «талии», которая плавно сужается к центру и расширяется к краям. В отличие от цилиндра, который имеет постоянную положительную кривизну в одном направлении и нулевую в другом, катеноид имеет отрицательную гауссову кривизну во всех точках, что делает его седлообразным локально.