Алгебраическое выражение с радикалом
Математическая конструкция, в которой переменная находится под знаком арифметического корня (квадратного, кубического и т.д.). В отличие от рациональных выражений, здесь операция извлечения корня является основной алгебраической операцией над переменной.
Близкие слова
- корневое выражение
Выражение √(x + 5) является иррациональным, так как переменная x находится под знаком квадратного корня.
Примером служит также дробь, где в числителе или знаменателе стоит ∛x.
Выражение с иррациональным числом
Иногда термином в широком смысле называют любое выражение, содержащее иррациональные числа (например, π или √2) как константы, даже если переменные отсутствуют. Однако строго в школьном курсе алгебры термин относится именно к функциям с переменной под корнем.
Выражение 2π + √5 содержит иррациональные числа, но является числовым выражением, а не функцией.
Отличие от рациональных выражений
Рациональные выражения включают только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень. Иррациональные выражения добавляют операцию извлечения корня с переменной под ним. Это принципиально меняет свойства функции: например, график рациональной функции может быть непрерывным во всей области определения, тогда как иррациональная функция часто ограничена снизу или сверху из-за требования неотрицательности подкоренного выражения.
Область допустимых значений (ОДЗ)
Главная особенность иррациональных выражений — необходимость находить ОДЗ. Для корня четной степени (квадратного, четвертой) подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Например, для √(x - 3) значение x может быть только от 3 до бесконечности. Если под корнем стоит выражение, которое может стать отрицательным, такое значение переменной исключается из области определения функции.
Преобразование иррациональных выражений
Часто задача сводится к упрощению таких выражений. Основные приемы включают вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Последний прием особенно важен: если в знаменателе стоит √x, дробь умножают на сопряженное выражение или просто на √x, чтобы привести знаменатель к рациональному виду.